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第十三届OPhO决赛试题

解答题：从下列四道选题中任选两道作答，每道题75分，多做的部分不给分

1. 考虑在半径为 $ r $ ，以 $ \vec{\Omega}=\Omega \hat{z} $ 自转的粗糙球冠上的一个半径为 $ R $ ，质量为 $ m $ 的匀质小球，其在重力场 $ \vec{g}=-g\hat{z} $ 中运动，如图所示. 若 $ \rm O_2 $ 及 $ \rm O_1 $ 分别为球冠与小球的球心，且 $ \overrightarrow{\mkern-1mu O_2O_1 \mkern-1mu} $ 方向的单位向量是 $ \hat{n} $ . 设小球质心速度为 $ \vec{v} $ ，自转角速度为 $ \vec{\omega} $ . 角度 $ \phi $ 与 $ \theta $ 所表示的含义如图所示. 若无特别声明不考虑球在球冠上的滑动或脱离球冠，建议保留矢量方程形式解题.
   
   
   
   1. 写出系统的全部动力学方程并消去约束力. (2分)
   2. 试求 $ \vec{\omega}\cdot\hat{n}=\omega_n(\hat{n}) $ ，结果可以包含一个待定常数 $ C_1 $ . (5分)
   3. 试求 $ \vec{\omega}(\hat{n},\vec{v}) $ . (5分)
   4. 试求 $ \hat{n} $ 的运动方程 . (10分)
   5. 找到 (4) 的运动方程的运动积分 $ f(\hat{n},\dot{\hat{n}})=C_2 $ ，并根据此求出 $ \dot{\phi}(\theta) $ . (15分)
   6. 考虑任何一个在某一势场中运动的质量为 $ m $ 的刚体，其势能为 $ V $ ， 已知该刚体相对其质心的惯量张量为 $ I $ ，现在一以角速度 $ \vec{\Omega} $ 匀速转动的参考系下考察此刚体，坐标原点建立在转轴上，刚体的质心坐标为 $ \vec{r}_c $ ，自转角速度为 $ \vec{\omega} $ ，证明刚体在该转动参考系中的能量具有如下形式：\[\frac{1}{2}m\dot{\vec{r}}^2_c+\frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot{I}\cdot\vec{\omega}+V+V_{\rm eff}=E\]其中 $ E $ 是守恒能量，并求出有效势能 $ V_{\rm eff} $ ，结果使用 $ \vec{r}_c,I,\vec{\Omega} $ 表示. (8分)
   7. 对于球冠上的小球，已知 $ t=0 $ 时 $ \theta=\theta_0 $ ， $ \phi=0 $ ， $ \vec{v}=0 $ ， $ {\omega}_n=0 $ ，且 $ \vec{\omega} $ 满足无滑滚动的条件. 试求 $ t(\theta) $ ，结果可以保留为定积分的形式. (15分)
   8. 试分析小球不脱离球冠面的条件. (15分)
2. 在本题中我们将对电磁场的隐藏动量展开讨论.
   1. 一半径为 $ R $ 的均匀带电 $ Q $ 球壳以角速度 $ \vec{\omega} $ 匀速旋转，求其磁矩 $ \vec{m} $ 与在球外产生的磁场 $ \vec{B} $ . (2分)

   · 一个半径为 $R$ 的导体球壳，整体呈电中性，但是其表面有 (1) 中的电流分布，已知其总磁矩为 $\vec{m}$，将球壳置于匀强外电场 $\vec{E_0}_0$ 中.

   2. 试求空间中的总电磁场动量 $ {\vec{P}_{\mathrm{em}}} $ . (10分)
   3. 在上述条件下，保持电流分布相对大小不变，将球壳磁矩均匀减小至0，忽略球壳运动产生的影响，试求球壳获得的动量 $ \vec{P}_{\mathrm{mech}} $ . (10分)
   4. 电磁场动量 $ {\vec{P}_{\mathrm{em}}} $ 和球壳动量 $ \vec{P}_{\mathrm{mech}} $ 是否相同？若不同，请解释原因并从电磁场动量的角度重新计算 $ \vec{P}_{\mathrm{mech}} $ (10分).

   · 原点处有一载流导体线圈，其磁矩为 $ \vec{m} $ ， $ \vec{r} $ 处有一点电荷 $ Q $ ，两者均固定， $ r $ 远大于线圈的线度.

   5. 试求空间中的总电磁动量 $ {\vec{P}_{\mathrm{em}}} $ . (10分)
   6. 将线圈磁矩减小至0，试求点电荷受到的冲量. (5分)
   7. 将线圈磁矩减小至0，试求线圈受到的冲量，并从受力角度解释线圈受冲量的来源. (5分)

   · 一半径为 $ R $ 的刚性环形线圈载有恒定电流 $ I $ ，在匀强电场 $ \vec{E} $ 中自由运动.

   8. 试求出系统的运动积分，并说明线圈受力的来源. (10分)
   9. 试从分析力学角度推导在匀强电场中自由运动的磁矩的正则动量，并阐释其物理意义. (10分)

   · 考虑一束中性粒子，每个粒子的磁矩大小为 $ m $ ，将其分成两束相干涉，其中一束经过长度 $ L $ 的匀强电场区域，粒子运动方向、磁矩方向、电场方向三者相垂直.

   10. 改变电场强度，试求使干涉条纹平移一个周期的匀强电场的场强变化值 $ \Delta E $ . (3分)
3. 本题我们研究偏振光的相关问题.
   · 我们采用琼斯矢量（复向量） \[\mathcal{E}=\left[\begin{array}{l}u \\ v\end{array}\right]\] 来描述平面电磁波，电场强度为\[\vec{E}=\operatorname{Re}\left(\left[\begin{array}{l}u \\ v\end{array}\right] e^{-i w t}\right)\]若线性偏振元件作用于平面波的效果为\[\left\{\begin{array}{l}E_x^{\prime}=A E_x+C E_y \\ E_y^{\prime}=B E_x+D E_y\end{array}\right.\]其中 $ A,B,C,D $ 是常数，则该变换可以被归结为琼斯矩阵（复矩阵）\[\mathcal{J}=\left[\begin{array}{ll}A & C \\ B & D\end{array}\right]\]作用于琼斯矢量得到.
   1. 写出透射方向如图中虚线所示的理想偏振片的琼斯矩阵. (2分)
      
   2. 考虑第一张图所示的椭圆偏振光，现仅有1个半波片和1个1/4波片，则后四张图所示的四种偏振状态中，不可能使入射光达到的偏振状态为哪几个？证明你的结论，图上数字仅代表比例. (20分)
      
      
      
      
      
   3. 现考虑有若干偏振片，它们的透振的方向振幅透过率为 $ t $ ，另一方向则完全不透光，已知 $ 1-t=\varepsilon \ll 1 $ ，现用这些偏振片制作一个线偏桭光的 $ 90^{\circ} $ 旋光元件，试求该元件的最大光强透过系数，结果精确至 $ \varepsilon $ 的最低阶. (15分)

   · 对于主频为 $ \omega $ 的非完全偏振光，其电场强度可表示为 $ \vec{E}(t)=\operatorname{Re}\left(\vec{E}_0(t) e^{-i \omega t}\right) $ . 定义相干张量 $ {J}=\left\langle\vec{E}_0 \vec{E}_0^*\right\rangle $ ，即 $ {J}^{i j}=\left\langle E_0^i E_0^{j *}\right\rangle $ ，其中尖括号表示对光场做时间平均或系综平均. 定义偏振张量为：\[\rho=\frac{J}{\operatorname{Tr}J}\] 其中 $ \operatorname{Tr} $ 表示对张量求迹.

   4. 若某偏振光可用相干张量 $J$ 描述，试求其光强. (2分)
   5. 写出完全偏振光的偏振张量所满足的方程，实际上，该方程与完全偏振条件等价. (3分)
   6. 考虑如下分波前干涉实验，已知入射光的相干张量为 $J$ ，入射光的波前被分为两部分后分别经过由琼斯矩阵 $\mathcal{J}_A, \mathcal{J}_{B}$ 描述的元件后汇聚干涉，求相干光的相干张量 $J^{\prime}$ . (5分)
   7. 如图所示的分波前干涉实验，一单色点光源S发射的单色光分别经过一单缝和双缝，被分成两部分，上方光束经过偏振1，下方的光经过偏振片2和一 $ \phi $ 波片后，两束光在屏上发生干涉.
      
      其中，偏振片1的 $ y $ 方向振幅透过率为 $ t_1 $ ， $ x $ 方向振幅透过率为 $ t_2 $ . 偏振片2为理想偏振片，其透振方向与 $ y $ 轴正方向偏 $ x $ 轴正方向 $ \theta $ 角. $ \phi $ 波片中的的e光（非常光）方向沿 $ y $ 方向，并使之相对o光（寻常光）附加额外的相位 $ \phi $ . 试求该实验中屏上的干涉条纹的衬比度. (28分)
4. 考虑一艘与海水密度相同的静止潜水艇，它可以在水下保持平衡，现在当潜艇在水中高速移动，忽略黏度、湍流等流体动力学效应，则相对海面静止的观察者会认为潜艇下沉，因为洛伦兹收缩效应使其密度超过海水。而潜艇参考系的观察者则会认为潜艇应该浮起，因为此时海水密度增加，这样看似存在的矛盾称为潜水艇佯谬. 在本题中，我们将从广义相对论的角度对此做一般化的探讨.
   1. 写出狭义相对论中“尺缩效应”的内容. (1分)
   2. 为了更好地讨论潜水艇佯谬，我们先考察一个在力场中运动的粒子，它在 $ K $ 惯性系中受到一个力场 $ \vec{F} $ 的作用，有 $ \vec{F}=\mathrm{d}\vec{p}/\mathrm{d}{t} $ ，并且假设该力与速度无关（例如，电场力），另外，再考虑一个惯性参考系 $ K^\prime $ ，它与 $ K $ 的坐标轴平行，且它相对 $ K $ 系沿 $ x $ 轴以速度 $ \vec{v} $ 运动，则在 $ K^\prime $ 系中，粒子受到力的作用 $ \vec{F}^\prime=\mathrm{d}\vec{p}^\prime/\mathrm{d}{t}^\prime $ 是否与粒子运动速度有关？证明 $ \vec{F}^\prime $ 中与粒子速度有关的部分总可以写成\[\vec{F}^\prime_B=\vec{u}^\prime\times \vec{B}^\prime\]的形式，其中 $ \vec{u}^\prime $ 是 $ K^\prime $ 中粒子的速度，并求“等效磁场” $ \vec{B}^\prime $ 的表达式.(5分)
   3. 下面，我们将以上结论运用到潜水艇佯谬中去，我们先假设重力是一种与受力物体速度无关的力，并先来考虑一个这样的情况，在海洋系中，潜水艇以 $ \vec{u}=u\vec{e}_x $ 运动，潜水艇受到的重力为 $ \vec{W}=W\vec{e}_z $ ，同时受到等大反向的浮力，根据阿基米德浮力原理，这说明潜水艇的密度等于海水密度，则在潜水艇系中潜水艇受到的浮力还是它排开海水受到的重力吗？若是，证明之，若不是，二者的差值是多大？阿基米德浮力原理应该如何修正？(6分)
   4. 现在考虑另外一种情况，也即最常见的潜水艇佯谬表述，在潜水艇相对海洋静止时，二者密度相等，潜水艇受到重力为 $ \vec{W}=W\vec{e}_z $ ，现使潜水艇以 $ \vec{u}=u\vec{e}_x $ 相对海水运动，同样，暂时将重力视为与速度无关的力，显然，在海洋系中，由于潜艇的尺缩效应，它受到的重力会大于浮力从而下沉，假设二者合力为 $ \vec{F}=F\vec{e}_z $ ，现利用(3)中的结论，在潜水艇系中求出下沉的合力，证明其与对 $ \vec{F} $ 的相对论变换的结果相等. (6分)

   · 上面的结果看似完美解决了潜水艇佯谬，但有一个地方使用了可能存疑的假设，那就是将重力场视为类似电场一样与速度无关的力场，实际结果究竟是否如此？根据爱因斯坦引力理论，引力并不是一种力，而是一种时空曲率效应，为了简单起见，将地球近似视为半无穷大物体， $ z $ 轴垂直于地面向上，根据对称性，我们可以假设地面附近的时空线元为这样的形式：\[\mathrm{d} s^2=-T(z) c^2 \mathrm{d} t^2+A(z)\mathrm{d} z^2+\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2\]这样的拟设的原因在于，与地面平行的任何平面显然是2维欧几里得平面几何. 粒子在引力场中自由下落的运动方程由测地线方程描述：\[\frac{\mathrm{d} u^\alpha}{ \mathrm{d} \tau}+\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha u^\beta u^\gamma=0\]其中 $ u^{\alpha} $ 是粒子的4-速度， $ { \mathrm{d} \tau} $ 可选为粒子的固有时间隔， $ \Gamma_{\beta\gamma}^\alpha $ 是引力场的克里斯托弗符号，其由引力场的度规 $ g_{\alpha\beta} $ 决定：\[\Gamma_{\beta \gamma}^\alpha=\frac{1}{2} g^{\alpha \delta}\left(\partial_\beta g_{\gamma \delta}+\partial_\gamma g_{\beta \delta}-\partial_\delta g_{\beta \gamma}\right)\]其中度规张量 $ g_{\alpha\beta} $ 是线元前的系数， $ g^{\alpha\beta} $ 是度规张量的逆张量，例如，对于上述时空，度规为：\[g_{00}=-T(z), \quad g_{11}=g_{22}=1,\quad g_{33}=A(z),\quad \rm others=0\]

   5. 现在，我们来考察一个在这样时空中由静止自由释放的粒子，对于一个靠近粒子的固定观测者，在粒子被释放的那一刻，它应该看到粒子以恒定加速度 $ -g\vec{e}_z $ 加速下落，根据这个条件，试确定出度规 $ T(z) $ 与 $ A(z) $ . (8分)
   6. 现在考虑粒子在 (5) 这样的重力场中，在地面观者看来粒子以3-速度 $ \vec{v} $ 运动，试求在粒子近旁观的固定测者看到的粒子加速度，在粒子的速度满足什么样的条件下，粒子的加速度是竖直向下的？其取值是否依赖于粒子的速度 $ \vec{v} $ ？ (15分)
   7. 试求在上述这样的重力场中，质量为 $ m $ 的粒子受到的重力 $ \vec{W} $ 和速度的关系. 你会发现，在 (3) (4) 中使用的假设并不正确. (16分)
   8. 利用 (7) 的广义相对论中的全新结论，重新讨论 (4) 中的潜水艇佯谬，分别修正在海洋系和潜水艇系中潜水艇受到的合力，并说明佯谬依然能被解决. (18分)

第十三届OPhO决赛参考答案

1. 1. \[m \dot{\vec{v}}=\vec{N}+\vec{f}+\vec{G}\]\[I \dot{\vec{\omega}}=-\vec{R} \times \vec{f}\]\[\vec{v}=\vec{w} \times \vec{R}+\vec{\Omega} \times \vec{r}\]\[I \dot{\vec{\omega}}+\vec{R} \times m \dot{\vec{v}}=\vec{R} \times \vec{G}\]
   2. \[\omega_n=\left(c_1-\vec{\Omega}\cdot\vec{r}\right)R^{-1}\]
   3. \[\vec{\omega}=\frac{c_1}{R} \vec{n}-\frac{\vec{v} \times \vec{n}}{R}-\frac{r}{R} \vec{\Omega}\]
   4. \[\frac{d}{d t}\left[\frac{7}{5} \vec{n} \times \dot{\vec{n}}-\vec{\Omega}+\frac{G}{r} \vec{n}\right]=-\frac{g}{r} \vec{n} \times \hat{z}\]
   5. 运动积分为：\[\frac{7}{5}\dot{\phi} \sin ^2 \theta+\frac{c_1}{r} \cos \theta=c_2 \]\[\dot{\phi}=\dot{\phi}(\theta)=\frac{5}{7}\left(c_2-\frac{c_1}{r} \cos\theta\right)\sin^{-2}\theta\]
   6. 证明略. \[V_{\rm eff}=-\frac{1}{2} m\left(\vec{\Omega} \times \overrightarrow{r_c}\right)^2 \\ -\frac{1}{2} \vec{\Omega} \cdot I \cdot \vec{\Omega}\]
   7. \[\begin{aligned} t(\theta)=\int_{\theta_0}^\theta&\left[\frac{1}{7} \Omega^2\left(12 \sin ^2 x-5 \sin ^2 \theta_0\right)-\frac{10g}{7(R+r)}\left(\cos x-\cos \theta_0\right)\right.\\&\qquad\qquad\qquad\qquad-\left.\Omega^2 \sin ^2 x\left(\frac{2 r \cos \theta_0\left(\cos \theta_0-\cos x\right)}{7(R+r) \sin ^2 x}-1\right)^2\right]^{-\frac{1}{2}} \mathrm{d}x\end{aligned}\]
   8. \[\frac{1}{7} \Omega^2\left(12-5 \sin ^2 \theta_0\right)+\frac{10g}{7(R+r)} \cos \theta_0-\Omega^2\left(\frac{2 r \cos ^2 \theta_0}{7(R+r)}-1\right)^2< 0\] \[\&\]\[m g \cos \theta_c+m(R+r)\left[\frac{5}{7} \Omega^2\left(\cos ^2 \theta_c-\cos ^2 \theta_0\right)+\frac{4 r \Omega^2 \cos \theta_0+10g }{7(R+r)}\left(\cos \theta_c-\cos \theta_0\right)\right] >0\]
2. 1. \[\vec{m}=\frac{1}{3} Q R^2 \vec{w} \]\[\vec{B}=\frac{\mu_0}{4 m} \frac{3(\vec{m} \cdot \hat{r}) \hat{r}-\vec{m}}{r^3}\]
   2. \[\vec{P}_{\rm e m}=\frac{1}{3} \frac{\vec{m} \times \vec{E}_0}{c^2} \]
   3. \[ \vec{P}_{\rm {mech }}=\frac{\vec{m} \times \vec{E}_0}{c^2} .\]
   4. 不同，因为这个过程无穷远有电磁场动量流入.
   5. 0.
   6. 点电荷受冲量：\[\vec{I}_Q=-\frac{\vec{m} \times \vec{E}_0}{c^2}\]
   7. 线圈受冲量：\[\vec{I}_m=\frac{\vec{m} \times \overrightarrow{E_0}}{c^2}\]线圈受到的冲量来源为线圈表面感应电荷受的感生电场力.
   8. 正则动量守恒：\[\frac{d}{d t}\left(\gamma m\vec{v}+\frac{\vec{m} \times \vec{E}}{c^2}\right)=0\] 受力来源的解释：线圈本征参考系中有磁物，故线圈受到安培力.
   9. 略.
   10. \[ \Delta E=\frac{2 \pi \hbar c^2}{m L}\]
3. 1. \[\left[\begin{array}{cc}\sin ^2 \theta & \cos \theta \sin \theta \\\cos \theta \sin \theta & \cos ^2 \theta\end{array}\right]\]
   2. 不可能使入射光达到第二个偏振状态和第四个偏振状态.
   3. 透过系数为：\[1-2 \pi \sqrt{\varepsilon}\]
   4. \[I=\operatorname{Tr}J\]
   5. \[\rho=\rho^2\]
   6. \[J^{\prime}=\left(\mathcal{J}_A+\mathcal{J}_B\right) J\left(\mathcal{J}_A^{\dagger}+\mathcal{J}_B^{\dagger}\right)\]
   7. \[\gamma=\frac{2 \sqrt{\left(t_1 \cos ^2 \theta+t_2 \sin ^2 \theta\right)^2 \cos ^2 \frac{\phi}{2}+\left(t_1 \cos ^2 \theta-t_2 \sin ^2 \theta\right)^2 \sin ^2 \frac{\phi}{2}}}{t_1{ }^2+t_2{ }^2+1}\]
4. 1. 尺缩效应指观察者在观察与其相对速度非零的物体时看到的长度变小的现象.
   2. \[\vec{B}^{\prime}=-\vec{v} \times {G}^{\prime}/c^2\]其中：\[G_x^{\prime}=F_x, \quad G_y^{\prime}=\gamma F_y, \quad G_z^{\prime}=\gamma F_z\]
   3. 阿基米德浮力定律不再正确，差值为：\[(\gamma^3-\gamma)\rho g V_{\mathrm{s}}\]修改方法略.
   4. 合力为：\[\vec{F}^\prime=\rho gV_0(\gamma-1)\vec{e}_z\]证明略.
   5. \[A(z)=1,\qquad T(z)=\frac{2gz}{c^2}+1\]
   6. \[a_x=\frac{v_x v_z}{c^2} g, \quad a_y=\frac{v_y v_z}{c^2} g, \quad a_z=-g\left(1-\frac{v_z^2}{c^2}\right) \]
   7. \[\vec{W}=-\gamma mg\vec{e}_z\]
   8. 海洋系合力：\[\vec{F}=\rho gV_0\left(\gamma-\frac{1}{\gamma}\right)\vec{e}_z\]潜水艇系合力：\[\vec{F}^\prime=\rho gV_0\left(\gamma^2-1\right)\vec{e}_z\]证明略.