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第十二届OPhO决赛试题

解答题：从下列四道选题中任选两道作答，每道题75分，多做的部分不给分

1. 我们说一个物理理论具有某种对称性，指的是该理论在一定的变换下保持不变. 当这种变换是时间或空间坐标的变换时，该对称性称为时空对称性. 本题研究经典电磁学的时空对称性. 例如，我们研究麦克斯韦方程组的时空对称性. 麦克斯韦方程组是：\[\begin{aligned}& \nabla \cdot \vec{E}= \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\& \nabla \times \vec{E}=- \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\& \nabla \cdot \vec{B}=0 \\& \nabla \times \vec{B}= \vec{J}+ \frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\end{aligned}\]如果空间坐标作变换 $ x\rightarrow x^\prime $ ，时间坐标作变换 $ t\rightarrow t^\prime $ ，某一物理量 $ A(x,t) $ 作为时间空间坐标的函数在作出相应的某种变换 $ A(x,t)\rightarrow A^\prime(x^\prime,t^\prime) $ 后，方程组仍然 成立，即若仍有：\[\begin{aligned}& \nabla^\prime \cdot \vec{E}^\prime= \frac{\rho^\prime}{\varepsilon_0} \\& \nabla^\prime \times \vec{E}^\prime=- \frac{\partial \vec{B}^\prime}{\partial t^\prime} \\& \nabla^\prime \cdot \vec{B}^\prime=0 \\& \nabla^\prime \times \vec{B}^\prime= \vec{J}^\prime+ \frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}^\prime}{\partial t^\prime}\end{aligned}\]则麦克斯韦方程组具有这种对称性. 其中 $ \nabla^\prime $ 代表坐标 $ \vec{x}^\prime $ 的梯度算符. 不计一切电磁介质.
   1. 空间反演: $ \vec{x}\rightarrow -\vec{x} $ . 证明麦克斯韦方程具有空间反演对称性， 试求 $ \vec{E}, \vec{B}, \rho, \vec{J} $ 的变换. (3分)
   2. 时间反演: $ t\rightarrow -t $ . 证明麦克斯韦方程具有时间反演对称性，试求 $ \vec{E}, \vec{B}, \rho, \vec{J} $ 的变换. (3分)
   3. 时空平移: $ \vec{x}\rightarrow \vec{x}+\vec{a} $ ， $ \vec{t}\rightarrow \vec{t}+\tau $ . 其中 $ \vec{a} $ 和 $ \tau $ 分别为常矢量和常数. 证明麦克斯韦方程具有时空平移对称性，试求 $ \vec{E}, \vec{B}, \rho, \vec{J} $ 的变换. (3分)
   4. 空间旋转: $ \vec{x}\rightarrow R \vec{x} $ . 其中 $ R $ 是旋转矩阵，为简单起见， 可取该变换为 $ x\rightarrow x\cos\theta-y\sin\theta , y\rightarrow x\sin\theta+y\cos\theta $ ， $ z $ 不变，其中 $ \theta $ 是旋转角，是常数. 证明麦克斯韦方程具有空间旋转对称性，试求 $ \vec{E}, \vec{B}, \rho, \vec{J} $ 的变换. (8分)
   5. 洛伦兹变换: 为简单起见，可取该变换为 $ {x}\rightarrow \gamma (x + \beta c{t}), {t}\rightarrow \gamma (t + \beta{x}/c) $ . $ y,z $ 不变，其中 $ -1 < \beta < 1 $ 是常数，且 $ \gamma=1/\sqrt{1-\beta^2} $ . 证明麦克斯韦方程具有洛伦兹对称性，试求 $ \vec{E}, \vec{B}, \rho, \vec{J} $ 的变换. (8分)

   * 麦克斯韦方程组满足(3)(4)(5)的对称性，这说明麦克斯韦方程组具有庞加莱对称性.

   6. 标度变换: $ \vec{x}\rightarrow \alpha \vec{x}, t\rightarrow \alpha {t} $ . 其中 $ \alpha $ 是常数. 证明麦克斯韦方程具有标度对称性，试求 $ \vec{E}, \vec{B} $ 的变换. (12分)
   7. 超球面反演: $ \vec{x}\rightarrow \vec{x}^\prime $ ， $ {t}\rightarrow {t}^\prime $ ，其中 $ \vec{x}^\prime, {t}^\prime $ 满足：\[\vec{x}^\prime=\lambda\frac{\vec{x}}{c^2t^2-\vec{x}^2}\qquad {t}^\prime=\lambda\frac{{t}}{c^2t^2-\vec{x}^2}\]其中 $ \lambda $ 是常数. 证明麦克斯韦方程具有超球面反演对称性，试求 $ \vec{E}, \vec{B} $ 的变换. (18分)
   8. 特殊共形变换: $ \vec{x}\rightarrow \vec{x}^\prime $ ， $ {t}\rightarrow {t}^\prime $ ，其中 $ \vec{x}^\prime, {t}^\prime $ 满足：\[\frac{\vec{x}^{\prime}}{c^2 t^{\prime 2}-\vec{x}^{\prime 2}}=\frac{\vec{x}}{c^2 t^{ 2}-\vec{x}^{ 2}}-\vec{b},\qquad \frac{t^{\prime}}{c^2 t^{\prime 2}-\vec{x}^{\prime 2}}=\frac{t}{c^2 t^{ 2}-\vec{x}^{ 2}}-{d}\]其中 $ \vec{b} $ 和 $ d $ 分别为常矢量和常数. 为简单起见，可取上式中 $ \vec{b}=0 $ ， $ d\neq 0 $ . 证明麦克斯韦方程具有特殊共形对称性，试求 $ \vec{E}, \vec{B} $ 的变换. (20分)

   * 麦克斯韦方程组满足(3)(4)(5)(6)(7)(8)，这说明麦克斯韦方程组具有共形对称性，有趣的是 ，对于麦克斯韦方程组，这种庞大的对称性只在四维时空中满足.

2. 万有引力定律是经典物理学中最重要的规律之一，它来自开普勒对行星运动的观测和牛顿动力学的演绎推理，也在之后启发了爱因斯坦建立广义相对论. 今天，我们相信引力理论是支配着宇观尺度下的物质运动规律和宇宙演化的最重要理论. 然而，现代的宇宙学观测结果仍然有很多当前的引力理论无法妥善解决的问题，其一就是加速膨胀的宇宙. 除了在现有框架下引入暗能量来对其进行解释以外，也有理论家尝试提出修改引力理论的方案来解释天文观测. 在本题中，你将着手从牛顿引力的基础上展开一定讨论.
   1. 写出开普勒行星运动定律的内容. (3分)
   2. 在开普勒运动中，我们假设行星受到的力是由静止不动的中心天体提供的，而且这个力的大小只和行星到中心天体的距离有关. 试证明这样的力具有平方反比的形式：(5分)\[\vec{F} \propto -\frac{\vec{r}}{r^3}\]
   3. 牛顿引力指出，质量为 $ m_1, m_2 $ 的质点之间存在的万有引力满足\[\vec{F}_{12}=G \frac{m_1 m_2}{\left|\vec{r}_1-\vec{r}_2\right|^3}\left(\vec{r}_1-\vec{r}_2\right).\]其中 $ G $ 被称为万有引力常数. 通过量纲分析 ，给出一个用真空光速 $ c $ ，普朗克常数 $ h $ ，万有引力常数 $ G $ 来定义的力学单位制（质量，长度，时间），并给出用这些 常数表示的物理量的单位. (5分)
   4. 在大尺度的天文观测上，我们发现遥远天体正在远离地球. 而且这种远离服从哈勃定律，即 $ v = Hr $ ，其中 $ v $ 为相对于地球的天体退行速度， $ r $ 为该天体到地球的距离，系数 $ H $ 被称为哈勃常数，以地球为参考系，考虑距离为 $ r $ 的一个质量为 $ m $ 的试探天体，仅考虑它的动能和它受到的半径为 $ r $ 的球体的引力势能. 试写出这个试 探天体的机械能 $ E $ 的表达式，取当前宇宙平均密度为 $ \rho $ . (5分)
   5. 当(4)中试探天体的机械能 $ E >0 $ 时，该天体会始终远离观测者，直到无穷远，这意味着宇宙会 持续膨胀，满足这个条件的宇宙平均密度 $ \rho $ 的上界称为临界密度，试求临界密度. (5分)
   6. 如果哈勃退行来自于宇宙的膨胀，那么可以引入 $ r=a r_0 $ 来表示试探天体与地球的距离，其中 $ r_0 $ 是一个不随时间变化的常数，而 $ a $ 是描述宇宙膨胀所导致的尺度因子，它是时间的函数. 通常取我们当前的宇宙时间 $ t_0 $ 时刻的 $ a\left(t_0\right)=1 $ . 使用函数 $ a(t) $ 表示哈勃“常数” $ H $ （你会看到它可能并非常数）. 如果试探天体的机械能守恒，且宇宙的总质量保持不变（半径为 $ r $ 的球体内物质的总质量一定）试推断随着宇宙演化，哈勃常数 $ H(t) $ 的增减性. 根据 $ a(t) $ 随时间变化的规律来判断这个模型中的宇宙处在加速膨胀还是减速膨胀. (7分)

   · 现代天文观测发现， $ a(t) $ 是增函数. 这意味着宇宙正在加速膨胀. 为了能够得到与观测相符的 $ \ddot{a}(t) $ ，其中一种做法是考虑宇宙中分布着压强不为0的物质. 为简单起见，假设宇宙中均匀分布着某种质量密度 $ \rho $ 和压强 $ p $ 之间满足关系 $ p=w \rho $ 的物质，其中 $ w $ 是一已知常数，而在(6)中考虑的质量守恒的情况对应于 $ w\rightarrow 0 $ .

   7. 重新以宇宙中物质的能量守恒作为出发点，分别推导宇宙处在加速膨胀或减速膨胀 $ w $ 所应满足 的条件. (7分)
   8. 对于 $ w=-1 $ 的情况，物质的密度不会随宇宙膨胀而改变，这称为真空能量. 现考虑宇宙 是由真空能量和质量守恒的非相对论性天体( $ w\rightarrow 0 $ )共同构成的，并假设某时刻前者和后者的密度与当前宇宙临界密度的比值分别为 $ \eta_1 $ 与 $ \eta_2 $ ， 若此时宇宙是减速膨胀的，试求 $ \eta_1 $ 与 $ \eta_2 $ 应满足的条件. 若宇宙的膨胀 会停止，试求 $ \eta_1 $ 与 $ \eta_2 $ 应满足的条件. (8分)
   9. 在(8)的条件下，试根据当前宇宙的 $ \eta_1 $ 与 $ \eta_2 $ 的不同取值情况，讨论宇宙未来的 膨胀加速度 $ \ddot{a}(t) $ 的变化情况. (12分)

   · 另一种为得到与观测相符的 $ \ddot{a}(t) $ 的做法是考虑修改引力理论. 有一种修改引力理论认为 ，在大的时间尺度上来看，万有引力常数 $ G $ 并非常数.

   10. 若(6)中的机械能守恒仍然成立，并假设宇宙的总质量保持不变，试求为了让宇宙加速膨胀所需要的 $ |\dot{G} / G| $ 的最小值. (8分)
   11. 如果万有引力常数正在随时间变化，那么我们有可能通过其他的天文观测来检查这一点. 考虑地球 环绕太阳的运动，在(10)的条件下，试估计每个世纪地日平均距离将会改变多少，已知当前的哈勃常数 $ H\left(t_0\right) \approx 2.5 \times $ $ 10^{-19} \mathrm{~s}^{-1} $ . (10分)
3. 物理学有许多分支领域，虽然各领域的研究对象和思维范式存在许多差异，但对于每个领域的研究时常不是独立于其他领域的，一个领域中的问题、概念等时常启发其他领域的研究，探索不同领域的基本原理之间的兼容性等问题更是充满了独特的魅力！热力学（及其微观解释——统计力学）和量子力学这两个相差很大的领域就具有上述特点，它们的研究是密不可分的.
   1. 写出热力学第零定律的任意一种表述. (2分)
   2. 请结合你掌握的知识，谈谈你对“热力学或统计力学和量子力学的研究是密不可分的”的理解. 可以从任何适当的角度来谈，比如一个领域中的概念启发了另一个领域的研究、对一个领域中的基本原理与另一个领域中的基本原理的兼容性的研究促进了物理学的发展等. (4分)
   3. 从统计力学的观点看，具有大自由度的系统的状态应当由其相空间中的一个分布来描述，统计力学的一个重要任务是根据分布导出宏观可观测的热力学量及研究分布的动力学演化规律. 在很多情况下，由于系统自身及其与环境之间的相互作用的复杂性，与系统密切相关的力学量（如哈密顿量）难以事先得知，因此根据力学量直接求解分布及其演化在很多情况下是困难的，人们时常会通过实验观测或计算机模拟得到与系统相关的采样数据，从而由采样估计分布，这一过程称为求解统计力学的反问题. 请结合你掌握的知识，举一个例子简述在什么问题的研究中求解了统计力学的反问题. (5分)

   · 量子热力学

   4. 统计力学中的系统和量子力学中的系统在一些概念上具有相似性，这使得将热力学的概念类比应用于量子力学系统的想法成为可能——我们可以尝试为一个量子力学系统引入内能、做功、热传递等热力学概念. 然而，找到热力学概念在量子力学中的对应物是十分困难且不直观的，幸好统计力学中的熵（玻尔兹曼熵）早已有量子力学的对应物——冯诺依曼熵，因此我们可以先从熵的概念入手. 在量子力学中，考虑由两个纯量子态 $ |\phi\rangle $ 和 $ |\psi\rangle $ 构成的混合态，其密度矩阵为\[\hat{\rho}=\lambda|\phi\rangle\langle\phi|+(1-\lambda)|\psi\rangle\langle\psi|,\]其中 $ 0 < \lambda < 1 $ 为表示混合程度 的常数. 记 $ k_B $ 为玻尔兹曼常数，计算此混合态的冯诺依曼熵，并求证此混合态的冯诺依曼熵随量子态 $ |\phi\rangle $ 和 $ |\psi\rangle $ 的内积的模的平方 $ |\langle \phi|\psi\rangle|^2 $ 的增大而减小，且这一结论对任意 $ 0 < \lambda < 1 $ 恒成 立. (8分)
   5. 求证如果量子态随时间的演化不违反热力学第二定律，即演化不会使量子系统的冯诺依曼熵减小，则描述量子系统演化动力学的方程必须是线性的. (8分)
   6. 热力学第一定律表明，使系统内能发生变化有且仅有（广义）做功和热传递这两种方式，而内能的统计力学定义不难推广到量子力学中，因此我们可以通过探讨热力学第一定律在量子力学中的对应物来寻找热力学中做功和热传递的量子力学对应物. 统计力学将系统的内能定义为系统各种可能的微观态的能量的期望值，因此我们可以仿照这种做法定义一个量子系统的内能为 $ U=\langle\hat{H} \rangle $ . 其中 $ \hat{H} $ 表示量子系统的哈密顿量， $ \langle \hat{H} \rangle $ 为哈密顿量 的期望值. 考虑量子系统在温度为 $ T $ 的环境中的无穷小等温过程，假设某量子力学系统的状态 $ \hat{\rho} $ 对应吉布斯系综：\[\hat{\rho}=\sum_n \frac{\exp \left(-\frac{E_n}{k_{\mathrm{B}} T}\right)}{Z}|n\rangle\langle n|,\qquad \text{其中 } Z=\sum_n \exp \left(-\frac{E_n}{k_{\mathrm{B}} T}\right),\]称为配分函数. $ E_n $ 、 $ |n\rangle $ 分别为哈密顿量 $ \hat{H} $ 的本征值和相应的本征态（假设没有简并），记 $ P_n=\langle n| \hat{\rho}|n\rangle $ 表示能量为 $ E_n $ 的概率，试给出用 $ E_n $ 、 $ P_n $ 表示的量子力学中做功和热传递的合理定义，并验证其满足经典热力学中做功 $ \mathrm{d}W $ 与自由能变化 $ \mathrm{d}F $ 的关系 $ \mathrm{d}W=\mathrm{d}F $ 及热传递 $ \mathrm{d}Q $ 与熵变的关系 $ \mathrm{d}Q=T\mathrm{d}S $ . (10 分)
   7. 和(6)类似，同样从热力学第一定律出发，假设我们将量子系统的哈密顿量 $ \hat{H} $ 在密度矩阵 $ \hat{\rho} $ 的本征矢量 $ \{|k\rangle\} $ 的表象中表示，其对角元 $ \epsilon_k=\langle k| \hat{H}|k\rangle $ ，此时密 度矩阵 $ \hat{\rho}=\rho_k|k\rangle\langle k| $ ，其中 $ \rho_k $ 为本征矢量 $ |k\rangle $ 对应的本征值，试给出用 $ \epsilon_k $ 、 $ \rho_k $ 表示的量子力学中做功和热传递的合理定义. (11分)
   8. 量子力学中普遍存在着关联，这是经典力学中没有的性质，比如量子纠缠就是一种关联. 关联的变化也会导致系统哈密顿量的期望值发生改变，因此将热力学第一定律推广到量子力学时需要考虑到关联的影响. 然而，由于关联没有经典对应物，为清晰起见，我们沿用(6)和(7)中的符号，将关联的微小变化定义为：\[\mathrm{d} C=\sum_n \sum_k E_n \rho_k \mathrm{~d}\left|c_{n, k}\right|^2\]其中 $ c_{n,k}=\langle n|k\rangle $ ，请分析关联对(6)和(7)中所定义的做功和热传递的贡献是否相同，并给出量子力学中考虑了关联后的热力学第一定律的最终形式. (20分)

   · 量子卡诺热机

   9. 根据(5)和(8)中所得的结果，假设我们制造出卡诺热机的量子力学对应物——量子卡诺热机， 其效率是否可能超过经典卡诺热机呢？如果不会，根本原因是什么？如果会，那这是否违反了热力学第二定律？进一步地，结合热力学第二定律的前提条件，分析“描述量子系统演化动力学的方程必须是线性的”这一结论将在什么条件下不再成立. (7分)
4. 本题我们考虑一种类似陀螺仪的嵌套玩具.

   · 考虑如图左图所示的玩具，其具有两个自由度，我们用 $ \theta, \phi $ 描述，并且设如图状态为 $ \theta = \phi = 0 $ 时的位形，套在外面的刚性轻质大圆环可以通过固连在地面上的两竖直细丝自由无摩擦转动, 此转动角即为 $ \theta $ ，质量为 $ m $ ， 半径为 $ R $ 的内圆环可绕固连在大圆环水平直径上的两轻质刚性细丝自由无摩擦转动, 此转角即为 $ \phi $ .

   1. 写出角动量守恒定律的内容. (2分)
   2. 试求 $ \theta,\phi $ 满足的运动方程组. (5分)
   3. 试求用 $ \theta,\phi $ 及其时间导数表达的系统的两个守恒量. (5分)
   4. 设初始 $ t = 0 $ 时 $ \dot{\theta} = \omega_0 $ ， $ \dot{\phi} = \Omega_0 $ ，并有 $ \Omega_0 \gg \omega_0 $ ，试求 $ \theta $ 关于 $ \phi $ 的函数表达式 $ \theta(\phi) $ . (7分)
   5. 在(4)的条件下，试求函数表达式 $ t(\phi) $ ，并求可以使此构型形成周期运动的条件. (7分)

   · 考虑如图右图所示的玩具，其具有三个自由度，我们用 $ \theta, \phi, \psi $ 描述，并且设如图状态为 $ \theta = \phi =\psi= 0 $ 时的位形，套在外面的刚性轻质大圆环可以通过固连在地面上的两竖直细丝自由无摩擦转动, 此转动角即为 $ \theta $ ，轻质刚性内圆环可绕固连在大圆环水平直径上的两轻质刚性细丝自由无摩擦转动, 此转角即为 $ \phi $ ，内有一垂直于外层转轴的轻质转轴，其中心有一垂直于该轻质转轴的质量为 $ m $ ， 半径为 $ R $ 的可自由无摩擦转动的圆盘，此转角即为 $ \psi $ .

   6. 试求用 $ \theta,\phi,\psi $ 及其时间导数表达的系统的三个守恒量. (6分)
   7. 设初始 $ t=0 $ 时 $ \phi=\phi_0, \dot\theta=\omega_0, \dot\psi=\Omega_0, \dot\phi=0 $ ，试求可以使 $ \phi $ 一直不变的 $ \phi_0 $ 取值. (8分)
   8. 在(7)的条件下，讨论该平衡的稳定性，且对于稳定平衡位置求出 $ \phi $ 在微扰下的小振动频率. (9分)
   9. 设初始 $ t=0 $ 时 $ \phi=0, \dot\theta=\omega_0, \dot\psi=0, \dot\phi=\alpha\omega_0 $ ， 思考在整个运动过程中是否会出现某个角速度达到无穷大的情况，如果是，这违反能量守恒吗？如果不违反能量守恒，试解释为什么 在现实中我们不会观察到这个现象. 并求解： ① $ \phi $ 的运动范围； ② $ \phi $ 的周期； ③ $ \phi $ 变化一个周期 $ \theta $ 的增量 $ \Delta\theta $ . (12分)
   10. 在(9)的条件下，试求 $ \alpha $ ，使得 $ (\theta, \phi) $ 构成周期运动，即不考虑 $ \theta, \phi $ 的周期是否也是 $ \psi $ 的周期. (14分)

第十二届OPhO决赛参考答案

1. 1. \[\vec{E}^\prime=-\vec{E}\]\[\vec{B}^\prime=\vec{B}\]\[\rho^\prime=\rho\]\[\vec{J}^\prime=-\vec{J}\]
   2. \[\vec{E}^\prime=\vec{E}\]\[\vec{B}^\prime=-\vec{B}\]\[\rho^\prime=\rho\]\[\vec{J}^\prime=-\vec{J}\]
   3. \[\vec{E}^\prime=\vec{E}\]\[\vec{B}^\prime=\vec{B}\]\[\rho^\prime=\rho\]\[\vec{J}^\prime=\vec{J}\]
   4. \[{E}^\prime_x={E}_x\cos\theta-E_y\sin\theta\]\[{E}^\prime_y={E}_y\cos\theta+E_x\sin\theta\]\[E^\prime_z=E_z\]\[{B}^\prime_x={B}_x\cos\theta-B_y\sin\theta\]\[{B}^\prime_y={B}_y\cos\theta+B_x\sin\theta\]\[B^\prime_z=B_z\]\[\rho^\prime=\rho\]\[{J}^\prime_x={J}_x\cos\theta-J_y\sin\theta\]\[{J}^\prime_y={J}_y\cos\theta+J_x\sin\theta\]\[J^\prime_z=J_z\]
   5. \[{E}^\prime_x={E}_x\]\[{E}^\prime_y=\gamma({E}_y+\beta B_z)\]\[E^\prime_z=\gamma(E_z-\beta B_y)\]\[{B}^\prime_x={B}_x\]\[{B}^\prime_y=\gamma({B}_y-\beta E_z)\]\[B^\prime_z=\gamma(B_z+\beta E_y)\]\[\rho^\prime=\gamma(\rho+\beta{J}_x)\]\[{J}^\prime_x=\gamma({J}_x+\beta\rho)\]\[{J}_y={J}_y\]\[J^\prime_z=J_z\]
   6. \[\vec{E}^\prime=\alpha^{-2} \vec{E}\]\[\vec{B}^\prime=\alpha^{-2} \vec{B}\]
   7. \[E^\prime_x=\lambda^{-2}\left[(t^2-\vec{r}^2)^2E_x-2(t^2-\vec{r}^2)t(tE_x+yB_z-zB_y)+2(t^2-\vec{r}^2) x(\vec{r}\cdot\vec{E})\right]\]\[E^\prime_z=\lambda^{-2}\left[(t^2-\vec{r}^2)^2E_z-2(t^2-\vec{r}^2)t(tE_z+xB_y-yB_x)+2(t^2-\vec{r}^2) z(\vec{r}\cdot\vec{E})\right]\]\[E^\prime_y=\lambda^{-2}\left[(t^2-\vec{r}^2)^2E_y-2(t^2-\vec{r}^2)t(tE_y+zB_x-xB_z)+2(t^2-\vec{r}^2) y(\vec{r}\cdot\vec{E})\right]\]\[B_x^\prime=\lambda^{-2}\left[\left(t^2-\vec{r}^2\right)^2 B_x+2\left(t^2-\vec{r}^2\right)z(tE_y-xB_z+zB_x)+2x^2y(yB_x-xB_y-tE_z)\right]\]\[B_y^\prime=\lambda^{-2}\left[\left(t^2-\vec{r}^2\right)^2 B_y+2\left(t^2-\vec{r}^2\right)x(tE_z-yB_x+xB_y)+2x^2z(zB_y-yB_z-tE_x)\right]\]\[B_z^\prime=\lambda^{-2}\left[\left(t^2-\vec{r}^2\right)^2 B_z+2\left(t^2-\vec{r}^2\right)y(tE_x-zB_y+yB_z)+2x^2x(xB_z-zB_x-tE_y)\right]\]
   8. \[\begin{aligned}F_{\mu \nu}^{\prime} &= F_{\mu \nu}+4(x^{\prime\prime 2})^{-2}(x^{\prime\prime}\cdot b)x^{\prime\prime \sigma}\left[x^{\prime\prime}_{\mu} F_{\sigma\nu}-x^{\prime\prime}_{\nu} F_{\sigma\mu}\right]-2(x^{\prime\prime 2})^{-1}x^{\prime\prime \tau}\left(b_{\mu}F_{\tau\nu}-b_{\nu}F_{\tau \mu}\right)\\& -2(x^{\prime\prime 2})^{-1}b^{\tau}\left[x^{\prime}_{\mu}F_{\tau\nu}-x^{\prime}_{\nu}F_{\tau\mu}\right]+4(x^{\prime\prime 2})^{-2}x^{\prime\prime \tau}b^{\sigma}(x^{\prime\prime}_\mu F_{\sigma\nu}-x^{\prime\prime}_\nu F_{\sigma\mu}) x^{\prime}_\tau\\& +4(x^{\prime\prime 2})^{-2}x^{\prime\prime \tau}b^{\sigma}\left( x^{\prime\prime}_\mu x^\prime_{\nu} F_{\tau\sigma}-x^{\prime\prime}_\nu x^\prime_{\mu} F_{\tau\sigma}\right)\end{aligned}\]其中希腊字母跑遍 $ 0,1,2,3 $ ，并使用了爱因斯坦求和约定.\[F_{\mu\nu}=\left[\begin{array}{rrrr}0 & E_x & E_y & E_z \\-E_x & 0 & -B_z & B_y \\-E_y & B_z & 0 & -B_x \\-E_z & -B_y & B_x & 0\end{array}\right] \]\[x^\mu=(t,x,y,z)\]\[x^{\prime\prime\mu}=\frac{x^\mu}{x^2}-b^{\mu}\]\[x^{\prime\mu}=\frac{x^\mu}{x^2}\]\[x^2=t^2-x^2-y^2-z^2\]\[b^\mu=b_\mu=(d,0,0,0)\]
2. 1. 开普勒第一定律（轨道定律）：行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上. 开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积. 开普勒第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即 ${a^{3}}/{T^{2}} = k$ ， $k$ 是一个与行星无关的常量.
   2. 略.
   3. 对于质量 $ M $ ：\[M=\sqrt{\frac{hc}{G}}\]对于长度 $ L $ ：\[L=\sqrt{\frac{hG}{c^{3}}}\]对于时间 $ T $ ：\[T=\sqrt{\frac{hG}{c^{5}}}\]不存在能量耗散，电路中的电势能与磁场能互相转化，在一个周期内各达到两次峰值.
   4. \[E=\frac{1}{2} m H^2 r^2-\frac{4 \pi G}{3} \rho m r^2\]
   5. \[\rho_{c}=\frac{3H^{2}}{8\pi G}\]
   6. 这个模型中宇宙处在减速膨胀状态.
   7. 对于 $ w >-c^2/3 $ ，宇宙减速膨胀， $ w< -c^2/3 $ ，宇宙加速膨胀.
   8. 宇宙减速膨胀的条件：\[\eta_2 >2\eta_1\]宇宙膨胀会停止的条件：\[\eta_1+\eta_2 >1\]
   9. \[\frac{\ddot{a}}{a}\propto 2\eta_{10}-\eta_{20}\left(\frac{a_0}{a}\right)^3\]
   10. \[\frac{\dot{G}}{G} \geqslant H\]
   11. \[\delta R\sim 120\mathrm{m}\]
3. 1. 如果两个热力学系统分别与第三个热力学系统达到了热平衡，则这两个热力学系统也达到了热平衡.
   2. 略.
   3. 略.
   4. \[S=-k_{\mathrm{B}} \sum_{i=1}^2 e_i \ln e_i\]其中：\[e_{1,2}=\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}-\lambda(1-\lambda)\left(1-|\langle\phi | \psi\rangle|^2\right)}\]
   5. 略.
   6. 热传递定义为：\[\mathrm{d}Q=\sum_{n}E_{n}\mathrm{d}P_{n}\]做功定义为：\[\mathrm{d}W=\sum_{n}P_{n}\mathrm{d}E_{n}\]
   7. 热传递定义为：\[\mathrm{d}Q^{\prime}=\sum_{k}\epsilon_{k}\mathrm{d}\rho_{k}\]做功定义为：\[\mathrm{d}W^{\prime}=\sum_{k}\rho_{k}\mathrm{d}\epsilon_{k}\]
   8. 我们可以将量子热力学第一定律定义为：\[\mathrm{d}U=\mathrm{d}W+\mathrm{d}Q=\mathrm{d}W+\mathrm{d}Q^\prime+\mathrm{d}C\]
   9. 量子卡诺热机的效率有可能超过经典卡诺热机. 如果考虑了量子系统之间的相互作用或关联，那么量子力学的动力学演化规律将可以不再是线性的.
4. 1. 在不受外力矩作用时，系统的角动量 $ \vec L=\sum \vec r\times\vec p $ 守恒.
   2. \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left[\left(1+\cos ^2 \phi\right) \dot{\theta}\right]=0\]\[\ddot{\phi}=\cos \phi(-\sin \phi) \dot{\theta}^2\]
   3. \[ (1+\cos^2\phi)\dot\theta=\mathrm{const}\]\[\dot\phi^2+(1+\cos^2\phi)\dot{\theta}^2=\mathrm{const}\]
   4. \[ \theta=\frac{\sqrt2\omega_0}{\Omega_0}\arctan \left(\frac{\tan\phi}{\sqrt2}\right)\]
   5. \[ t=\frac{\phi}{\Omega_0}+\frac{\sqrt2\omega_0^2}{\Omega_0^3}\arctan\left(\frac{\tan\phi}{\sqrt2}\right)\]周期性要求：\[ \frac{\Omega_0}{\omega}=\sqrt2 r, \quad r\in\mathbb Q\]
   6. 守恒量 $ l_1,l_2,E $ 分别为：\[ \dot\psi+\dot{\theta}\sin\phi=l_1\]\[\dot\theta\cos^2\phi+2l_1\sin\phi=l_2 \]\[ \frac12\dot\phi^2+\frac12(4l_1^2-4l_1l_2-l_2^2)\tan^2\phi+l_2^2\frac{\tan\phi}{\cos\phi}+\left(l_1l_2-\frac{l_2^2}{2}\right)\ln\frac{1-\sin\phi}{1+\sin\phi}=E\]
   7. 记 $ x={l_1}/{l_2} $ ，按照 $ x $ 的范围分类讨论：\[ \left\{\begin{aligned} &x\in\left(\frac32, +\infty\right),\quad \sin\phi_0=\frac1{2x} \\ &x\in\left(\frac12, \frac32\right), \quad\sin\phi_0=\frac1{2x}\quad\text{或}\quad \sin\phi_0=2(1-x) \\ &x\in\left(-\frac12, \frac12\right),\quad \mbox{无解} \\ &x\in\left(-\infty, -\frac12\right), \quad\sin\phi_0=\frac1{2x}\end{aligned} \right.\]
   8. 对于 $ \sin\phi_0=({2x})^{-1} $ ，是稳定平衡，微振动角频率为：\[ \omega=\frac{l_2}{1-\frac1{4x^2}}\sqrt{4x^2-4x+\frac1x-\frac1{4x^2}}\]对于 $ \sin\phi_0=2(1-x) $ ，是不稳定平衡点.
   9. 会出现角速度无穷大，不违反能量守恒. 因为在 $ \phi=-\frac\pi2 $ 附近，角加速度极大，细丝与细 丝间、细丝给圆盘的力矩极大，摩擦力不可忽略，实际情况下巨大的摩擦力会使体系迅速慢下来. 运动范围，周期，及 $ \delta \theta $ 分别为：\[\phi\in[\phi_1, \phi_2]\]\[\phi\in[\phi_1, \phi_2]\]\[ T=\frac1{\omega_0}\int_{\phi_1}^{\phi_2}\frac{\mathrm d\phi}{\sqrt{\alpha^2-\frac{2\sin\phi}{1+\sin\phi}-\frac1{\cos^2\phi}\ln\frac{1+\sin\phi}{1-\sin\phi}}}\]\[ \Delta\theta=\frac1{\omega_0}\int_{\phi_1}^{\phi_2}\frac{\mathrm d\phi}{\cos^2\phi \sqrt{\alpha^2-\frac{2\sin\phi}{1+\sin\phi}-\frac1{\cos^2\phi}\ln\frac{1+\sin\phi}{1-\sin\phi}}}\]其中：\[\phi_1=-\pi-\arcsin\frac{u_0-1}{u_0+1}, \quad \phi_2=\arcsin\frac{u_0-1}{u_0+1}\]其中 $ u_0 $ 是以下关于 $ u $ 的方程的根：\[ \frac{(u+1)^2}{4u}\ln u-\frac1u+1=\alpha^2\]
   10. 要求 $ \alpha $ 满足：\[ \frac1{\omega_0}\int_{\phi_1}^{\phi_2}\frac{\mathrm d\phi}{\cos^2\phi \sqrt{\alpha^2-\frac{2\sin\phi}{1+\sin\phi}-\frac1{\cos^2\phi}\ln\frac{1+\sin\phi}{1-\sin\phi}}}=r\cdot 2\pi, \quad r\in\mathbb Q\]